Appendice 2 : Différence qualitative entre action conique et action cylindrique

En considérant l’action hélicoïdale propre au cylindre, on peut constater que la section circulaire résultant à la fin de la rotation est identique à la section de départ.

Au contraire, l’action spirale propre au cône va exprimer la transformation du cercle inférieur de départ en un cercle supérieur plus grand (figure 1a).

Nous observons donc que l’action conique implique nécessairement un changement des caractéristiques d’action que l’on peut visualiser en comparant les projections des coupes elliptiques du cône et du cylindre.

Ces coupes permettent de représenter les caractéristiques du volume engendré par l’action de rotation dans les deux cas (figure 1b).

La projection de la coupe elliptique traversant le cylindre donne un cercle ; ce processus n’implique donc pas de transformation.

Avec la projection de la coupe elliptique traversant le cône, nous obtenons en revanche une ellipse dont le périhélie (la distance la plus courte entre le foyer et la courbe) coïncide avec le rayon du cercle inférieur, et dont l’aphélie (la distance la plus longue entre le foyer et la courbe) coïncide avec le rayon du cercle supérieur. L’ellipse reflète la transformation opérée par l’action conique.

L’action cylindrique et l’action conique se différencie fondamentalement par le passage d’une singularité à deux singularités (figure 1c) : le cercle a un centre alors que l’ellipse a deux foyers ; le cercle a un rayon de longueur toujours égale alors que celui de l’ellipse varie en longueur avec un minimum (périhélie) et un maximum (aphélie) ; le cercle a un diamètre alors que l’ellipse possède un grand axe et un petit axe.

La série autosimilaire de cercles croissants inscrits dans un cône (voir figure 2 du chapitre 3) peut nous aider à concevoir une transformation riemannienne de variété N à une variété N+1.

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